C' est la base la plus utilisé et la plus connu pour tout les calculs de tous les jours .C' est le système DECIMAL , il est basé sur le nombre 10 qui est la base , les chiffres 0,1,2,3,4,5,6,7,8 et 9 soit 10 caractères au total sont utilisés pour la représentation des nombres .
N = an * 10n + an-1
* 10n-1 .............. + a0 * 100
(où an est un chiffre de rang n)
Exemple : N = (1974)10 ou 1974 d
N = 1 * 103 + 9 * 102 + 7 * 101
+ 4*100
Les puissances de 10 sont appelés les poids ou les valeurs de position . Le poids est égal à la base élevée à la puissance de son rang .
La base 2 utilise uniquement les chiffres 0 ,1 soit deux caractères pour représenter des nombres .Ces caractères Binaire ( ou BInary digIT) sont appelé BIT.
8 bits forment un Octet (BYTE).Un Triplet est formé de 3 éléments binaires , un Quartet de 4 .Un Mot (word ) est formé de 16 , 32 ou 64 éléments binaires .
La notations des valeurs binaires peut être précédé du signe % ou suivi de l' indice de la base 2 ou d' un B , b .
passage binaire (indice b) -> décimal (indice d) :
Exemple : 1011001 2 = 1011001b représente :
1x26 +0x25 +1x24 +1x23 +0x22 +0x21 +1x20
=1x64 +0x32 +1x16 +1x8 +0x4 +0x2 +1x1
= 89d
à l'inverse, pour transformer 89d en binaire, on peut utiliser la méthode des divisions successives par 2 : on divise successivement par 2 jusqu'à un résultat de 0, les restes successifs (de bas en haut) forment le nombre binaire.
De tête, je ferai : 89 = 1x64 reste 25 donc 0x32, 1x16 reste 9, 1x8 reste 1 donc 0x4, 0x2, 1x1.
Tableau de valeurs : 2n
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 2n | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 | 2048 | 4096 | 8192 | 16384 | 32768 |
( La notations des valeurs dans un système octal , base 8 peut être précédé du signe @ ou suivi de l' indice de la base 8 ou d' un Q .)
On utilise les chiffres 0 à 9 puis les lettres A à F.
0(16) correspond à 0000(2) qui correspond à 0(10)
Fh correspond à 1111(2) qui correspond à 15d ; FFh correspond à 255d
3A5h vaut 3x162 + 10x161 + 5x160 = 3x256 + 160 + 5 = 933d .
Transformer de l'hexadécimal en binaire est enfantin : il suffit de remplacer chaque chiffre par sa valeur binaire sur quatre bits : 3A5h = 0011 1010 0101b (on peut vérifier que ça vaut 933d).
En effet, 001110100101b
= 0.211 +0.210 +1.29 +1.28
+1.27 +0.26 +1.25 +0.24
+0.23 +1.22 +0.21 +1.20
= (0.23 +0.22 +1.21 +1.20)28
+(1.23 +0.22 +1.21 +0.20)24
+0.23 +1.22 +0.21 +1.20
= 0011bx28 +1010bx24 +0101bx20
= 3dx162+10dx16+5d
=3A5h
Contrairement à ce que beaucoup de gens croient, aucune machine ne compte en hexadécimal. Elles travaillent toutes en binaire, et ne se servent de l'hexa que pour dialoguer avec nous (nous nous trompons trop souvent dans de longues listes de 0 et 1).
Tableau de correspondance des principales bases utilisés :
| Décimal (base 10) |
Binaire (base 2 ) |
Octal (base 8) |
Hexadécimale (base 16) |
| 0 | 0000 | 0 | 0 |
| 1 | 0001 | 1 | 1 |
| 2 | 0010 | 2 | 2 |
| 3 | 0011 | 3 | 3 |
| 4 | 0100 | 4 | 4 |
| 5 | 0101 | 5 | 5 |
| 6 | 0110 | 6 | 6 |
| 7 | 0111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
| 17 | 10001 | 21 | 11 |
Si vous achetez un voltmètre numérique (69F en supermarché), la valeur mesurée est transmise à l'afficheur en numérique. Mais elle est auparavant transformée en décimal, chaque chiffre décimal est transmis à un afficheur en binaire naturel (sur 4 bits). C'est le BCD : la juxtaposition des valeurs binaires (sur quatre bits) des chiffres décimaux. Donc 583d se notera 0101 1000 0011bcd. Cette codification pose deux problèmes principaux :
Dès qu'il y a des calculs à effectuer, les systèmes numériques traduisent les nombres BCD en binaire dès leur acquisition, les résultats seront transformés en BCD au moment de leur sortie. On peut remarquer que pour transformer un nombre binaire en décimal (bcd), l'ordinateur est obligé de faire des divisions successives par 1010 (10 en binaire)
On désire qu'en passant d'un nombre à son suivant (+1) ou précédent (-1), on n'aie qu'un seul bit qui change. On désire de plus que les zéro rajoutés à gauche d'un nombre ne soient pas significatifs. Sur deux bits, on utilisera les codes 00, 01, 11 puis 10. Sur 3 bits, on gardera les mêmes premiers codes (précédés d'un zéro). La combinaison suivante débutera donc obligatoirement par 1, donc les deux autres bits ne peuvent pas changer. On continuera à prendre les mêmes codes, en ordre inverse, débutant par 1 : 110, 111, 101 et 100. En passant à 4 bits, on précède ces 8 cas d'un 0, les 8 suivants étant les mêmes, dans l'ordre inverse, précédés d'un 1. Ce codage est utilisé dans les cas où des valeurs ne peuvent varier que par incrémentation ou décrémentation : si l'on voit que plus d'un bit a changé entre deux valeurs, c'est qu'il y a eu un problème (en général le nombre a changé trop vite, le système n'a pas eu le temps de lire toutes les valeurs). Il faut par contre passer en binaire naturel pour tout autre calcul que l'incrémentation.
Un exemple est le capteur de position angulaire. Un capteur incrémental comptant des impulsions est utilisé par exemple sur les robots. C'est un disque, entaillé d'encoches régulièrement espacées, passant devant un capteur optique. Certaines impulsions trop rapprochées peuvent être "oubliées" en cas de choc par exemple, et donc occasionner un mauvais réglage. A l'initialisation et en cas de problème, on doit ramener toutes les articulations en position de repos, puis mettre les compteurs à 0, avant de pouvoir utiliser le robot. Un capteur absolu quand à lui donne toujours le position exacte (bien qu'il y ait souvent une démultiplication, le mouvement total fait plus d'un tour mais aucun choc ne fera sauter le capteur d'exactement un tour). On utilise un code binaire réfléchi car un autre codage nécessiterait, pour passer d'une valeur à la suivante, une modification simultanée de plusieurs bits .
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